La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función f con la función g , a la función denotada f ∘ g ( léase f composición g ), cuya regla de correspondencia es:
donde su dominio está representado por el conjunto:
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN
ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(g o f) = (h o g)of.
CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, g o f y f o g son en general dos funciones distintas.
FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.
Para obtener la regla de correspondencia de la función f o g , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f.
POR EJEMPLO
Sean las funciones, f(x)=4x²-1 y g(x)= √x , la regla de la función f o g se obtiene mediante la siguiente sustitución
por lo que,
entonces,
Una función compuesta es una función que en vez de depender de x, depende de otra función.
Vamos a resolver un ejercicio de composición de funciones más completo paso a paso, para que te quede mucho más claro este concepto de composición de funciones.Sean las funciones:
calcular f compuesta con g:f compuesta con g es igual a al función g, que depende de la función f(x):
Sustituimos f(x) por su expresión y después en la función g(x), en lugar de colocar la x, escribimos la expresión de la función f(x)
Hasta aquí ya habríamos obtenido la función compuesta. Ahora vamos a operar para eliminar paréntesis y simplificar la expresión.Multiplicamos el número por el paréntesis y obtenemos común denominador para sumar ambos términos:
¿Se puede obtener una función compuesta con la misma función?
Pues ya verás como sí. f compuesta de f es la función f, que depende de la misma función f(x):
Sustituimos f(x) por su expresión en el lugar donde aparece la x:
Ya tenemos la función compuesta. Ahora vamos a simplificar la expresión que nos ha quedado. Para ello, en primer lugar resolvemos los paréntesis y obtenemos común denominador tanto en el numerador como en el denominador:
Agrupamos términos y finalmente, el denominador x+1 que tenemos en numerador y denominador se anula:
Te habrás dado cuenta que el proceso es siempre el mismo. Debes estar muy atento a qué es o que tienes que sustituir en cada caso y una vez obtengas la función compuesta, la dificultad pasa simplificar la expresión.
Para tu mejor comprensión puedes revisar este video